- V rámci Fourierovej transformácie je možné časovú lokalizáciu
dosiahnúť pridaním lokalizačnej (windowing) funkcie g(t) do
Fourierovej transformácie
![\begin{displaymath}
F(\omega,t) = \int^{\infty}_{-\infty} f(u) g(u-t) e^{-i\omega u} du
= \int^{\infty}_{-\infty} f(u) g_{\omega,t}(u) du
\end{displaymath}](img91.png) |
(32) |
čo nám dáva amplitúdu sínusovej vlny s frekvenciou
v okolí
časového okamihu t
- Ako lokalizačná funkcia sa najčastejšie používa Gaussova funkcia
![\begin{displaymath}
g(t) = \pi^{-1/4} e^{-t^2/2}
\end{displaymath}](img92.png) |
(33) |
potom hovoríme o tzv. Gáborovej transformácii
- Vlastnosti časovo-frekvenčnej lokalizácie sú dané vlastnosťami
amplitúdy lokalizačnej funkcie
a jej
Fourierovej transformácie
- Nepresnosť v určení je daná ich štandardnými odchýlkami:
![\begin{displaymath}
\sigma_g^2 = \int^{infty}_{-\infty} (u-t)^2 \vert g_{\omega,t}(u)\vert^2
\end{displaymath}](img95.png) |
(34) |
a
![\begin{displaymath}
\sigma_G^2 = \int^{infty}_{-\infty} (\omega' - \omega)^2 \vert G_{\omega,t}(u)\vert^2
\end{displaymath}](img96.png) |
(35) |
a
určujú nepresnosť v časovej a frekvenčnej doméne
- Pre neurčitosti platí princíp neurčitosti
![\begin{displaymath}
\sigma_g \sigma_G \geq \pi/2
\end{displaymath}](img99.png) |
(36) |
a preto nemôže byť dosiahnutá ľubovoľná presnosť v obidvoch doménach (rovnosť
platí
- Nevýhoda - krátkodobé variácie procesov nie je možné lokalizovať
presnejšie ako
a preto pre procesy so zmenami na
rozličných časových škálach je ťažké vybrať vhodnú lokalizačnú funkciu